8.4. Crecimiento. Decrecimiento y Extremos relativos.

Ejemplo

Vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.

f(x)=x³+x²-x-1

Derivamos la función y la igualamos a cero para encontrar máximos y mínimos relativos.

f^‘(x)=3x²+2x-1

3x²+2x-1=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado y nos obtenemos de soluciones:

x=-1 y x= 1/3

Ahora hay que determinar máximos o mínimos relativos.

f(x)=x³+x²-x-1

f^‘(x)=3x²+2x-1

Calculo la Segunda Derivada

f^«(x)=6x+2

Una vez calculado la segunda derivada sustituimos los valores de posibles máximos o mínimos relativos en esta función derivada segunda.

f^«(-1) = 6(-1) + 2 = -5

Por tanto, x = -1 es un máximo por ser f»(-1) = -5 valor negativo.

Y entonces, x = 1/3 es un mínimo por ser f»(1/3) = 6(1/3) + 2 = 4 valor positivo.

Como sabemos que la función es continua y tiene posibles máximos y mínimos relativos en x = -1 y x = 1/3.

Entonces miramos los intervalos ( – ∞, -1) ∪( -1, 1/3)∪(1/3, + ∞)

Basta con coger un valor de cada intervalo y sustituirlo en la primera derivada.

f^‘(-2)=3 (- 2)² + 2 (- 2) – 1= 12 – 4 + 1 = 9

Como es positivo el valor entonces la función crece en ( – ∞, -1)

f^‘(0)=3 (0)² + 2 (0) – 1= – 1

Como es negativo el valor entonces la función decrece en ( -1, 1/3)

f^‘(1)=3 (1)² + 2 (1) – 1= 3 + 2 – 1 = 4

Como es positivo el valor entonces la función crece en (1/3, + ∞)

Y de todo esto deducimos que la función tiene un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 1/3